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一、解答题

1． 把函数

在（0, 4）上展开成余弦级数.

【答案】对f （x ）作周期为8的偶延拓, 得一连续偶函数, 故在（0, 4）上可将f （x ）展为余弦级数

.

所以由收敛定理, 在（0, 4）内

.

2． 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数:

（1）只在（2）只在（3）只在【答案】

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和三点不连续的函数 和二点连续的函数；

上间断的函数；

（4）只在x=0右连续, 而在其他点都不连续的函数.

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（1）（2）（

3

）（4） 3． 求

【答案】由

的极值.

解得稳定点为（1, 1, 1）和（-1, -1, -1）. 又

于是函数在点（1, 1, 1）和点（-1, -1, -1）的海森矩阵分别为

而H 1

为正定矩阵,

H 2为负定矩阵, 所以（1, 1, 1）为极小值点, 极小值为极大值为 4． 求

【答案】因为

所以

第 3 页

，共 29 页

为极大值点,

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5． 设S

求级数的和. ，

的收敛区间为（﹣1, 1），;

, 从而

，

【答案】设令令则

：，则，则

6． 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数:

（1）（2）

【答案】（1）令

、求z 对于x , y 的一阶与二阶偏导数；

,

求

和

, 则

故

故

原方程两边关于y 求偏导数, 得故

（2）把z 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 得

二、证明题

7． 设

在

上连续并且单调递减, 证明:函数求导, 得

由

在

上连续且单调递减, 得

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在单调递减.

【答案】对

所以