2017年首都经济贸易大学统计学综合之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 一工厂的两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（ppm ）—次，下面是7天的记录：
室甲：室乙：设每对数据的差异？（
）
不难算出
能认为两化验室测定结果之间有显著差异.
2． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为
，记Z=X+Y。
（I
）求【答案】 （I
）
，则其值为非零时z 的取值区间为[-1，2]。 （II ）设z 的分布函数为F （z ）当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；
当
所以z 的分布密度函数为
时，
Y
的概率密度为
于是
检验的p 值为0.4887, 不
来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差
【答案】这是成对数据的比较问题，7个值为
（II ）求X 的概率密度f （z ）。
3． 设一批产品中一、二、三等品各占60%，35%，5%.从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率.
【答案】记事件A 为“取出一件不是三等品”，B 为“取出一件一等品”，因为A=“取出一件不是三等品”=“取出的是一等品或二等品”
所以AB=B，于是所求概率为
4． 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在（0.4, 0.6）间的概率至少为0.9. 如何才能更精确地计算这个次数？是多少？
【答案】
均匀硬币正面朝上的概率
, 据题意
选取次数n 应满足
此式等价于
, 利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界
再由不等式
可得粗糙的估计
即抛均匀硬币250次后可满足要求. 设
为n 次抛硬币中正面朝上的次数,
则有
5． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为
某顾客在窗口等待服务，若超过lOmin ，他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求
，其中【答案】因为Y 〜b （5，p ）
所以得
6． 在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强度（主要质量指标）的影响. 为了比较70°C 与80°C 的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位：N ）:
表
根据经验，温度对针织品断裂强度的波动没有影响. 问在70°C时的平均断裂强度与80°C时的平均断裂强度间是否有显著差别（假定断裂强度服从正态分布，
）？
【答案】本题为关于两正态总体均值相等的检验问题，温度对针织品断裂强度的波动没有影响说明二者的方差是相等的. 设X 为70°C时针织品的断裂强度，Y 为80°C时针织品的断裂强度
，
待检验的一对假设为
由样本数据可算得
于是
在显著性水平
时，
因此拒绝域为
由于t 值落入拒绝
域内，从而拒绝原假设，认为70°C时检验的平均断裂强度与80°C时的平均断裂强度间有显著差别.
7． 9名学生到英语培训班学习，培训前后各进行了一次水平测验，成绩为：
表
（1）假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？ （2）不假定总体分布，采用符号检验方法检验学生的培训效果是否显著.
（3）采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著. 三种检验方法结论相同吗？ 【答案】（1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，可通过对检验进行. 一对假设为计量值为
由于
于是检验的P 值为
做单样本t 故可算出检验统
p 值大于0.05，在显著性水平0.05下不能认为学生的培训效果显著. （2）由于
正数的个数为2，从而检验的p 值为
P 值大于0.05，在显著性水平0.05下也不能认为学生的培训效果显著. （3）由于两个正的差值的秩分别为4.5和6，故符号秩和检验统计量为边假设检验，
检验拒绝域为
在给定
下，查表13可知
测值没有落入拒绝域，故也不能认为学生的培训效果显著，三者结果一致.
这是一个单
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