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一、计算题

1． 设随机变量X 服从区间（-1，1）上的均匀分布，求：

（1）（2）【答案】⑴

（2

）

当y<0时

，

所以得

2． 设K 服从（1，6）上的均匀分布，求方程

【答案】方程

有实根的充要条件是

，因此所求概率为

而K 〜U （l ，6）

3． 设事件A ，B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4，求P . （A ）及P （B ）

【答案】由题设知

又因为A ，B 独立，所以由

解得P （A ）=P（B ）=0.5.

4． （泊松大数定律）设的概率为

为n 次独立试验中事件A 出现的次数, 而事件A 在第i 次试验时出现

则对任意的

, 有

【答案】记

则

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的密度函数.

当时

，

当时

，

有实根的概率.

所以由切比雪夫不等式, 对任意的

有

即

5． 设试找出

【答案】

独立同分布服从

与t 分布的联系, 因而定出的密度函数.

的联合密度函数为

记

。

记

取一个n 维正交矩阵A , 其第一行为元素全为

其余元素只要满足正交性即可. 令Y=AX, 则该变换的雅可比行列式为1, 且注意到:

于是

的联合密度函数为

, 第二行为

由此,

独立同分布于

且

令

则

而

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这就建立了与t 分布的联系, 并可定出的密度函数.

6． 设随机变量X 与Y 相互独立, 其联合分布列为

表

试求联合分布列中的a , b , c.

【答案】先对联合分布列按行、按列求和, 求出边际分布列如下:

表

由X 与Y 的独立性, 从上表的第2行、第2列知6=（6+4/9）（6+1/9）, 从中解得b=2/9, 再从上表的第2行、第1列知知:

由此得c=1/6.

7． 已知某种材料的抗压强度下：

（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知

求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；

s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间为

因而的置信水平为95%的置信区间为

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从中解得a=1/18, 最后由联合分布列的正则性

，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如

（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，查表得，