2018年浙江理工大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, 且在D 内任一子区域f （x , y ）=0.
【答案】
假设存在, 使得对一切
故必在D 上f （x , y ） =0.
2． 设.
（1）证明y 满足方程（2）求【答案】（1）即当n=0时, 原命题成立. 对
即
（2）把x=0代入等式又因为
, 所以
3． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比, 试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】设旋转角与时间的函数关系为而时刻t 的角速度定义为
4． 求下列极限:
（1）
;
, 则时刻t 到
内的平均角速度为
.
, 故
两边求n 阶导数, 得
, 故当
时, 原命题成立. 得
,
,
；
,
使得
,
有
.
不妨设
则
. 由连续函数的保号性知:
存在, 与已知
矛盾.
上有
, 则在D 上
（2）.
【答案】（1
）和式中的被加项的通项为,
易见当时,
它与等价.
用代替
可得
原极限
（2）和式中的被加项的通项为得
原极限
5． 设
, 记
其中
是关于x 的多项式, 求
和
.
【答案】由莱布尼茨公式, 有
由此可知,
和
所以
易见, 当
时, 它与
等价. 用
代替
可
.
6． 求曲线.
【答案】切向量
, x+y+z=0在（1, -2, 1）点的切线方程.
所以切线方程为
或
二、证明题
7．
设
【答案】因为
所以, 当（x , y , z）
（0, 0, 0）时
（1）（0, 0, 0）在S 的外部时, 由高斯公式, 有
（V 为S 所围的区域）
（2）（0, 0, 0）在S 上时,
为无界函数的曲面积分, 且
.
收
, S 为一封闭曲面, r=（x , y , z ）, 证明当原点在曲面S
外、上、内时分别有
如果S 在（0, 0, 0）是光滑的, 由类似于无界函数的二重积分的讨论, 可知反常积分敛.
同样, 取充分小的
, 记为以（0, 0, 0）为球心, 为半径的球面, 用S 1表示从S 上被截下
而不被所包围的部分曲面, S 2表示上含在V 内的部分, 则
其中, S 2取内侧. 因为S 在点（0, 0, 0）是光滑的, 在点（0, 0, 0）有切平面, 所以S 在点（0, 0, 0）的附近可用这个切平面近似代替, 即S+2可看作的半个球面, 故
（3）（0, 0, 0）在S 的内部时, 取充分小的内部, 记为S 和所围成的区域, 取内侧, 则
, 使以（0, 0, 0）为球心, 为半径的球面在V