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一、综合题

1． 求分, 取外侧.

【答案】球面在点（x , y , z ）处的法向量为

, 由两类曲面积分的关系, 有

其中

:

作极坐标变换, 有

2． 求摆线:

【答案】因

故质心坐标为

3． 讨论下列函数在

（1）（2）

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, 其中S 是球面的第一卦限部

的质心, 设其质量分布是均匀的.

时的极限或左、右极限:

（3）

【答案】⑴当x>0时

当

时

.

因此（2）当当（3）当当当取

时

则时, 时, 时, 不存在.

时,

故故对即对于任给的并且当

. 由时, 由

得即

可知

因此得

不存在. 取

4． 求下列全微分的原函数:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由于数

（2

）由于无关, 故其原函数

或

（3）由

易见积分与路径无关, 故原式为某一函数的全微分, 令

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从而积分与路径无关, 其原函

从而积分与路径

即

5． 设

（1）求（2

）

,

在点（0, 0）是否连续?

（3）f （x , y）在点（0, 0）是否可微. 【答案】（1）当 x=y=0 时,

同理（0, 0）=0. 当

时,

所以

（2）取而

即（3）因为

而

*

由迫敛性知

*

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, :, 则

与都不存在, 故, 在点（0, 0）不连续.