2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研强化五套模拟题
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2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（一）.... 2 2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（二）.... 7 2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（三）.. 11 2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（四）.. 15 2018年云南财经大学统计与数学学院601数学分析之数学分析考研强化五套模拟题（五）.. 19
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一、证明题
1． 证明曲线
【答案】设
上任一点的法线到原点距离等于a.
所对应的点为
. , 则
法线斜率为
化简得
2． 设函数f （X ）在区间
【答案】若
下证:在题目的条件下
,
,
.
使若若
则当
, 则当
并令并令
, 所以过点
的法线方程为
. 原点（0, 0）到法线的距离
上二次可微, 且有界. 证明:
, 使得
,
则
必变号. 若不然,
不妨设
, 使得.
严格递增.
取
变号, 由导数的介值性,
时, 有
时, 有
这与f （x ）有界性假设相矛盾.
对
3． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）设收敛区间为
满足方程满足方程
,
故
且y
可在
内任意阶可导, 所以
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可类似地证明.
从而幂级数
的
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（2）设数y 在
故
具有任意阶导数, 由
所以幂级数的收敛区间为
可得
所以又由
得
, 且和函
二、解答题
4． 求证:黎曼
函数
（1）在
x>1上连续; （2）在x>1上连续可微. 【答案】（1）
, 使得
又
, 从而
在
上一致收敛. 进一步由连续性定理
, 可知函数
在x>1上连续.
在
上
具有如下性质:
连续, 特别在x 0点连续. 由于
x 0的任意性, 即可肯定
（2）由（1）可知
, 使得
.
又
收敛, 从而
在
上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知
且
在
士连续, 特别
在x 0点可导且
在x 0连续. 由x 0
的任意性, 即可肯定
在
x>1上连续可微.
5．
设f
, g 在
上可积, a n , b n 和分别表示f 和g 的傅里叶系数, 则
【答案】写出f+g和f －g 的巴塞伐尔等式:
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将上两式相减可得结论.
6． 试求下列极限（包括非正常极限）:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
【答案】（1）因为当
时,
故
（2）原式=（3）原式===
（4）由于当
时,
又因为
从而当
时,
故原式=＋∞ （5）因为
（6）因为当
时,
故
故
（7）令
则原式=
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