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一、证明题

1． 设函数f （x ）在点x=0的某邻域内有定义,

证明:

绝对收敛

存在且

. , 则有

从而

故=>:因为导数定义有

当

绝对收敛时, 只能有绝对收敛.

绝对收敛, 所以

, 又f （x ）在点x=0连续, 所以f （0） =0, 由, 即. （否则

与

.

的敛散性相同, 矛盾）.

【答案】:由于

存在.

2． 在[0, 1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得

从而时, 有

及

, 有

恒成立. 所以对于任意

取

当n>N时, 对任意的

由柯两准则知, 级数

在[0, 1]上一致收敛. 若

存在优级数特别取, 有

而正项级数优级数

发散.

所以级数发散,

这与为优级数矛盾, 因此级数不存在

3． 设级数收敛，证明也收敛.

【答案】因为

又

及

收敛，故

收敛，所以由比较原则得

证明:存在

【答案】因为

因而取存在

, 使得

5．

证明:若S 为无上界数集, 则存在一递増数列

【答案】令且

. 如果已找到

.

令

使得

则存在

.

使得

即

由

, 存在.

使得

再令

使得

则存在

使得

即

, 则函数F 和G 在[a, b]上满足柯西中值定理的条件. 于是

收敛. , 使得

4． 设函数f 在[a, b]

上连续,

在（a , b ）内可导, 且

归纳原理知,

存在一递增数列

二、解答题

6． 利用适当的坐标变换, 计算下列各曲面所围成的体积:

（1）（2）

【答案】（1）令

从而

（2）令

则

.

从而, 所求体积

7． 设函数

其中

. 问:

与

都存在?

可知, 当

,

即f （x , y ）在原点连续. （

2）

欲使上式极限存在, 必须有同理可知, 当

时,

时, 有

（3）由（2）知, 当

, 此时, .

.

且

时, 有

（1）对于P 的哪些值, f （x , y ）在原点连续? （2）对于p 的哪些值

, 【答案】（1）由

（3）对于p 的哪些值, f （x , y

）在原点有一阶连续偏导数? 并给出证明.

而

显然, 上式右端第一项的极限为0, 而欲使第二项的极限为0, 必须让换）. 于是当续.

（对此可作极坐标变, 时,

在原点也连

且时, 在原点连续. 同理可证, 当且