当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 设

求

则有

所以

Abel 不等式

2． 设连续函数

【答案】

用反证法. 若（1）若（2）若（3）若存在令所以存在（4）若存在从而存在

使

（a>0）上有一质量为M 的均匀细杆.

则

使

使

即

那么那么

使

这与假设

类似可得矛盾.

矛盾.

则可分四种情况讨论.

这与①式矛盾. 也与①式矛盾.

①

其值域

则一定存在

使

【答案】设

3． 设在坐标轴的原点有一质量为m 的质点, 在区间试求质点与细杆之间的万有引力.

【答案】如图所示, 距原点x 处, x 与

之间的质量产生的引力为

故

图

4． 方程

【答案】

令②F （0, 1, 1）=0; ③

④

5． 导出曲边梯形.

【答案】区间

绕y 轴旋转所得立体的体积公式为

所对应的柱壳体积

由微元法可知所求体积为

6．

对积分

（2）（3）

进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分:

所确定的区域;

（见图）.

（1）当

D 为由不等式

均在上述邻域内连续；

在点（0, 1, 1）的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？

, 则

①F （x , y , z ）在点（0, 1, 1）的某邻域内连续；

故由定理知, 在点（0,

1, 1）的某邻域内原方程能确定出函数

x=f（y , z ）和y=g（x , z ）.

图

【答案】 （1）

（2）

（3）

7． 设

【答案】

为单位球面

计算曲面积分

8． 设数

在[a,

b]上不仅收敛, 而且一致收敛

. 【答案】

级数可记为由每一个

又x=a

及x=b时,

9． 求心形线

【答案】

设

为收敛于零的函数列, 故

则

在[a, b] —致有界.

又对每一个

为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个都是[a, b]上的单调函数, 则级

都是[a, b]上的单调函数可得

是单调的, 由狄利克雷判别法可知, 原级数在[a, b]上一致收敛, 从而也必收敛.

的切线与切点向径之间的夹角.

由半角公式

得

10．求由抛物线

【答案】因为积为

其中

所以

与直线

.

故当

时,

; 当

时,

所围图形的面积. 的交点为

与

所以由这两条曲线所围图形的面