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一、证明题

1． 设

即

与

的最大零点为的符号一致. 又因为

, 证明:

, 所以

2． 设

（1）（2）若

【答案】（1）因为同时, 存在正整数当

时

. , 令

, 则使得当

时,

, 于是, 当n>N时,

由于M 的任意性, 故

（2）因为于是

, 所以对一切由（1）的结论得

即

对于任给的

, 存在正整数, 使得当

时,

, 即

, 所以

, 存在正整数N , 使得当n>N时,

. 即

.

, 证明:

.

, 对于任给的M>0, 存在正整数, 使得当

,

时

.

上恒正或恒负.

, 因此

【答案】因为x 0是f （x ）的最大零点, 所以f （x ）在

3． 证明:

【答案】设

在R 上严格增.

则

即

4． 设正项级数

（1）（2）在

发散.

故发散,

, 令

在

, 求证:

上严格增.

【答案】（1）把

上, 由

用分点

及

单调性, 得

分成无限个小区间,

从而

当

时,

, 即得结论.

因单调下降且趋于0, 及

发散. , 使

,

有

故由收敛原理知

5． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在都

存在.

【答案】（1）

对

,

,

设

, 由柯西收敛准则

,

（2）方法一:我们考虑级数故级数

’,

收敛, 于是由第（1）小题推出级缴

, 所以

方法二:因对任意固定的n , 于是对

发散.

上连续, 且存在, 则f （x ）在上一致连续;

及

（2）设f （x ）在有限开区间（a , b ）内连续, 则f （X ）在（a , b ）内一致连续

,

对

有

又由f （x ）在[a, M+l]上连续, 从而一致连续, 故对上述的当取或者

所以f （x ）在（2）时

有有

:

设

故当

, 由柯西收敛准则知

, 定义函数

* 时

存在. 同理

:

对

且

, 则对

,

或者上一致连续.

, 由f （x ）在（a , b ）内一致连续, 则

, 对

时有

.

当

, 不论哪种情况均有

时,

,

. , 当

也存在

.

则F （x ）在[a, b]上连续, 从而一致连续, 故f （x ）在（a , b ）内一致连续.

二、解答题

6． 设

（1）求证:（2）求【答案】（1）

化简即得方程, 两

边求n 阶导数, 得

化简得

由此, 令x=0, 得

, 这是

的递推公式, 根据这个公式, 有

这一段时间内运

, .

为了求

, 对第（1）小题所证的

（2）显然y （0）=0, 由第（1）小题知

. ,

;

7． 已知直线运动方程为

动的平均速度及t=4时的瞬时速度.

【答案】

分别令=1, 0.1, 0.01, 求从t=4至