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一、证明题

1． 定义双曲函数如下:

双曲正弦函数

双曲余切函数

证明:

【答案】（1）（2）（3）

（4）

2． 若函数

. 满足恒等式

z ）则称F （x , y ，为k 次齐次函数，

双曲余弦函数

双曲正切函数

试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F （x ，y , z ）为k 次齐次函数的充要条件是:

并证明:

为2次齐次函数.

令

两边对t 求导得

充分性 设令

由己知，得所以（2）因为

求关于t 的偏导数得

于是仅是x , y , z 的函数，记

，

令

，

因此

所以z （x ，y ）为2次齐次函数.

【答案】（1）必要性 由令t=l则有

3． 证明:若

【答案】由可推出进一步, 由由设

4． （1）证明:若向量

, 必存在

单调递增且有上界, 知

则有

是凸开集, f :的构造, 知

得收敛.

则数列收敛, 并求其极限.

为严格单调递増数列.

所以即

, 以及每一常. （2）利用（1）

是

D 上的可微函数

, 则对任意两点

, 满足

结果导出微分中值不等式.

, 因为

f 在D 上可微

, 所以F （x ）在

使

又（2）由

故有

, 则有

即

5． 设

,

其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.

【答案】因为在正方形的任何部分内, 函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的

y , 若y 为无理数, 则函数f （x , y ）恒为零. 若y 为有理数, 则函数仅有有限个异于0的值, 因此

所以累次积分存在且

同理, 累次积分

,

【答案】（1）考虑实值多元函数D 上也可微, 由于

有

, 则F :

是凸开集, 故根据多元函数的微分中值定理,

对

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6． 设函数f , g在x 0的某个领域上可导, 且

如果【答案】取

证明

由

其中A 是实数. 中值定理, 令

有

从而所以令

则

使得当

时, 有

将使

固定, 令

. 有

于是,

所以

7． 设f 在[a, b]上有界,

则f （x ）在[a, b]上可积

【答案】设

在

N ,

当n>N时,

,

上可积, 因此, 存在

, 从而f （x ）在

上的分割T%使

把

与合并, 就构成[a, b]的一个分割T , 则

则由知道

. 证明:若f （x ）在[a, b]上只有

在

上的振幅为,

, 取

因

为其间断点,

, 所以存

上至多只有有限个间断点, 由定理知f （x ）在