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一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

. 取

, 由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于x 1和x 2

在

和

上积分, 可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

2． 设f （x ）在

（1）（2）设

上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;

, 则t=0.

知, 数列

为收敛数列.

上连续, 对

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. 设证明:

为收敛数列；

（3）若条件改为【答案】（1）由界.

根据单调有界定理, （2）设

, 由于f 在

为递减数列. 由知, 数列有

两边取极限, 得

因此f （t ） =t.

（3）此时（1）, （2）的结论仍成立. 因为当推出t=0. 3． 设

【答案】

由题设

可知

于是原命题得证.

4． 证明级数

【答案】因为所以当

时, 数列

条件收敛.

. 所以该级数为交错级数. 令

单调递减, 且

收敛. 因为

而 5． 证明

【答案】将

作偶延拓到

上, 再在

故

即

外作周期延拓, 于是

发散, 所以

发散. 故原级数为条件收敛.

. 则

证明:

介于1与之间.

时,

所以由f （t ） =t可

由莱布尼茨判别法知级数

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6． 证明:

（1）方程. （2）方程【答案】（1）令的开口向上, 于是不同的实根

得

（2）令

, 并且

根据罗尔中值定理, 存在为

是奇次方程

（ii ）设n 为正奇数. 如果方程在根 7．

（1）（2）

【答案】（1）利用拉格朗日中值定理, 存在

求证:

使得

（2）设

, 则有

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（这里c 为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；

（n 为正整数, p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；

, 则,

则, 则

, 使得

, 但这是不可能的. 因

.

故方程

, 它在实数集R

上有且仅有一个实根

. 当

由方程

得

, 抛物线

, 使

时,

,

使得

当n 为奇数时至多有三个实根.

在区间（－1, 1）内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间[0, 1]内有两个

由罗尔中值定理知, 存在

时, 显然成立; 当

在区间（0, 1）内不可能有两个不同的实根. 有三个以上的实根,

则存在实数

不妨设

, 但这是不可能的. 所以方程（i ）设n 为正偶数.

如果方程

当n 为偶数时至多有两个实根.

有四个以上不同的实根, 则根据罗尔中值定理, 存

但这是不可能的.

因为

是偶次方程

当n 为奇数时至多有三个实

,

使得

并且

, 它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程