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一、解答题

1． 应用高斯公式计算下列曲面积分:

（1）（2）（3）

的表面, 方向取外侧;

（4）（5）【答案】（1）（2）

（3）

由柱面坐标变换

原式=

（4）原式=

（5）原曲线不封闭, 故添加辅助曲面

有

2．

对幂级数域上的一致收敛性.

【答案】（1）记

因为

, （1）求其收敛域; （2）求其和函数; （3）讨论幂级数在收敛

.

其中S 是单位球面其中S 为上半球面

.

的外侧; 的外侧.

其中S 为单位球面其中S 是立方体其中S 是锥面

的外侧; 的表面的外侧; 与平面z=h所围空间区域（

）

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所以当

级数

发散, 所以原级数的收敛域为（﹣1, 1）. （2）

（3）取

, 则

于是

在（﹣1, 1）内不一致收敛于0, 故该幂级数在收敛域内不一致收敛.

3． 设f （

x , y）为定义在平面曲线弧段

（1）试证明

是否成立

? 为什么?

使

这里

为

的弧长, 又f （x , y ）在

上恒大于零, 则

（2）不一定成立, 如取

4． 计算积分

【答案】令.

5． 试作一函数

使当

时,

=1, 则为从A （0, 0）

到B （0, 1）的直线段,

取f （x , y ）

.

, 所以由①知

上的非负连续函数, 且在

上恒大于零.

即

时级数收敛,

当

. 时级数发散, 故级数的收敛半径R=1, 当

x=±1时

（2）试问在相同的条件下, 第二型曲线积分【答案】（1）由题意知, 存在点

（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；

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（4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数

满足

因为

故（2）函数同理

不存在，

满足

也不存在. 但是

（3）函数因为在（4）函数

满足当满足

时，重极限和两个累次极限都不存在，

不存在但是

在区间（c , d ）内连续, 而

显然F （X , y ）在上连续

.

即存在点

.

由于

, 满足

就可在附近确定隐函数

都在R 上连续, 且所以

故方程

不能确定函

问在怎样的

时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的.

不存在.

6． 设函数f （x ）在区间（a , b ）内连续, 函数条件下, 方程

并研宄例子: （1）【答案】设若（i ）设又（ii ）

由于

数

7． 求下列周期函数的傅里叶级数展开式:

⑴（2）（3）

⑷

（周期）；

（周期1）; （周期）；

（周期

）.

能确定函数

, 故由上面的结论知方程可确定函数y=y（x ）.

【答案】（1）f （x ）是周期为的周期函数如图1所示

.