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一、证明题

1． 证明:设则

在D 上一致收敛于f. 【答案】因为任意

故所以

2． 若级数

证明级数【答案】

由

收敛,

由比较原则得正项级数如如果取

收敛, 从而满足不等式且

为发散的正项级数, 则必有

与发散.

收敛. 若

,

都发散. 收敛.

未必发散.

均发散, 但

与

及

又

都收敛, 且成立不等式

也收敛. 若

可得

,

都发散, 试问

一定发散吗？

与

. 都收敛, 故正项级数

又级数

, 有

故

, 若对每一个正整数n

有

,

3． 证明:若函数f 在区间上处处连续, 且为一一映射, 则f 在上严格单调.

【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然,

则至少存在三个点

注意到f 在上连续, 对f 分别在区间

, 使得

再证明f 在上是严格单调的. 不妨设f

在上是单调递增的, 则对任意的, 故必有 4． 设

（1）（2）（3）

【答案】（1

）因为

所以对于任给的

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满足和

但

, 而

而

. 由和

于f 是一一映射, 所以上述不等式为严格的, 即

上应用介值定理, 则存在

这与f 是一一映射相矛盾, 所以f 是单调的.

有

. 注意到f 在上是一一对应

, 这表明f 在上是严格单调的.

证明:

存在. 使得当

时, 有

取

则当

当

同时有

时, 有.

成立, 因而

故

（2

）对于任给的

时,

时,

故

（3）对于任给

的

时

, 时,

有

取

则当

时有

故

5． 叙述并证明:二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.

（1）惟一性定理:若极限. （2）局部有界性定理:若

.

上有界.

（3）局部保号性定理:若的某空心邻域

使得对一切点

, 则对任意正数或<0）

恒有

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存在,

使得当

再由函数极限的局部有界性知,

存在

则当

时, 有

时

,

当使得当

, 存

在

因

为

, 使得

当时

,

当使得

当

由局部保号性知, 存

在

存在, 则它只有一个极限.

则存在点

的某空心邻域

使

, 存在

（或

） 在

【答案】（1）设A , B都是二元函数当从而,

时,

在点处的极限, 则对任给的

存在

由

的任意性, 故A = &

则对

存在

对

即

这说明函数（3）设A>0, 取故当

在

上有界.

由函数极限的定义知:存在相应的

时,

对于A<0的情况可类似证明.

对一切

有

有

（2）设

二、解答题

6． 求曲面

【答案】由于

所以曲面面积为

7．

设

级数

收敛，

是f （x ）在区间

而

上的正弦级数，求

的面积, 其中a , b 是常数满足

.

【答案】对任意的m 、n>0,

由于法知

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别

一致收敛，所以由一致收敛函数列的性质知

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