2017年北京邮电大学理学院601数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1．
设
明
:
在
【答案】由于
在
上可积.
在
上连续，所以它在
时，有
因此作
事实上，从而
由此知，在
上，若
必有
故
这样，件的
必要性对上述的
和
分割
使得
于是由式(2) 知
最后由第三充要条件的充分性即知，
2． 设a 为有理数，x 为无理数. 证明：
(1) a+x是无理数；(2) 当盾. 故a+x是无理数.
(2) 用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数，所以无理数矛盾. 故ax 是无理数.
上连续
，
在上可积.
当时
，. 证
上一致连续，即
的分割之后，在
只要
上，若的振幅则
，必有
的振幅
先找使式(1) 成立. 再由在上的可积性，利用第三充要条
在上可积.
时，ax 是无理数.
也是有理数. 这与x 是无理数矛
是有理数. 这与x 是
【答案】(1) 用反证法. 假设a+x是有理数，那么
3． 设函数f (x ) 在区间[a, b]上满足
其中
为常数，证明：f (x ) 在[a，b]上恒为常数.
【答案】由条件可得
固定x ，令
由两边夹法则
此即有
因此
在
上恒为常数.
4． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。
【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.
取
. 任意
存在则H 是
上连续，则在
有
不妨设
因此
由一致连续定义，
在
上一致连续。
即
当
上一致连续. 因为在
对任意
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个
开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为
取
时，由于
对任意
二、解答题
5． 试写出下列类型极限的精确定义：
【答案】(1) 设得当
(2) 设当
且且
以A 为极限，记为
-时，
恒有
为D 上的函数，A 是一个确定的数. 若对任给的正数总存在正数M ，使
时，
恒有
成立，
则称当
时，
以
成立，
则称当
时，
函数
为D 上的函数，A 是一个确定的数，如果对任给的正数总存在一个正数使得
A 为极限，记为
6． 求出椭球在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.
处的切平面方程为
【答案】由几何学知，最小体积存在.
椭球面上任一点切平面在坐标轴上的截距分别为：故本题是求函数
在条件设令
下的最小值.
则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为
解得
故
7． 计算下列引力：(1)
均匀薄片引力；(2) 均匀柱体
对于点
对于轴上一点
处的单位质量的
处的单位质量的引力；(3) 均匀密
度的正圆锥体(高h , 底半径R ) 对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.
【答案】(1) 设物体密度为U , 由对称性，引力必在Z 轴方向上因此
故
(2) 设物体密度为
则由对称性知
，
下求F ；