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一、证明题

1． 设a>0，b>0, 证明

：

【答案】构造函数

展开可以证明，

所以又因为

所以原命题成立.

2． 用柯西收敛准则证明

:

【答案】当n 适当大时，对任意的自然数p ，有

当

时，

为自然数，都有

由柯西收敛准则，

3． 设

在

收敛.

，证明：

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递增.

收敛.

上连续且满足

【答案】显然，有

对上式从0到1积分，得

在上式两边同乘以正数

得

最后一步的不等式是根据函数

4． 证明棣莫弗

【答案】设

公式

代入欧拉公式得

有最大值而得到的.

二、解答题

5． 设函数f (x ) 满足条件

【答案】因为n=l, 2，... 时

所以

6． 设

同理可得

在

【答案】

由

有

因

正整数时有

当n 为负整数时有

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问此函数在上的傅里叶级数具有什么特性？

即f (x ) 在内的傅里叶级数的特性为

上一致连续，则存在非负实数a 与b ，使得对一切

）在在

上一致连续，

所以对

对任意上有界，所以存在

使得

当

. 存在整数n ,

使得

均有且时

其中

因此，当n 为

由知代入上式得

记

，则

使得

（将积分区间十等分）。

7． 分别用梯形法和抛物线法近似计算

【答案】（1）梯形法（取

）

（2）抛物线法（取

）

8． 设周期为2π的可积函数

试问的傅里叶系数【答案】

9． 已知球半径为验证高为h 的球缺体积

【答案】这个球缺可看作由曲线积公式

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满足以下关系式：

的傅里叶系数

有什么关系？

绕x 轴旋转而成. 其体积可由旋转体体

求得。