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一、证明题

1． 证明

【答案】取虽然满足

在

上不一致连续.

但是因此，

2． 设

在

在

上不一致连续.

证明：

【答案】由已知条件可知

，

则必有

由凹函数的性质，对任意的对上式两边在

上积分，可得：

由于

则

从而，对任意的

有

3． 若d][a, b]，使

是[a, b]上的连续函数列，且

在[c, d]上一致有界.

在任意闭区间

数列

有

是

上的严格凹函数.

设

是

上二阶可导，且

的最大值点，

都有界. 试证明：存在闭区问[c，

上都非一致有界，即

【答案】用反证法. 假设

使

因为函数的保号性，

又因为

在[a, b]上非一致有界，所以对k=l,

使得

在

有使得

满足

即数列

且

上非一致有界，所以对k=2，

使

由连续使

由连续函数的保号性，

如此下去，可得一个闭区间列

有

且

且

由闭区间套定理，

无界，则数列

有

其中使

的某一个子列

无界. 这与已知条件矛盾.

4． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而

若若

则由上式•则必大于0, 于是

由介值性定理，存在

使得

即

于是任取

即可.

二、解答题

5． 设

在

上有界

，

存在，且

另一方面，

由

有界，

知

【答案】一方面，由洛必达法则

，

从而

6． 求下列均匀密度的平面薄板质心：(1) 半椭圆等腰梯 形•

【答案】(1) 设质心位置在

由对称性

(2) 高为h ，底分别为a 和b 的

(2) 设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为

图

其中

7． 证明：含参量反常积分

一致收敛.

【答案】(1) 令

有

根据定义，

取

有

(利用了

(2) 取

对于任意N>1，取

不等式) 使得

故

由对称性

在

上一致收敛(其中

) ，在

内不

在内不一致收敛.