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一、证明题

1． 设

证明：

【答案】原不等式等价于

取

的凸

函数. 若记

由凸函数的性质

即

亦即

2． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：

【答案】将又因为

比较上面两式的实部与虚部可得

3． 证明：对任一多项式

【答案】设当n 为偶数时，

为奇数，此时有

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则由可知

，

是上

代入欧拉公式，得

一定存在

与使在与不妨设

内分别严格单调。 则

故存在

使得当

时，

格递增。

当时，为偶数，

则

则

在

于是，在内严格递减，在故存在

使得当

内严时

，

当n 为奇数时

，

令

4． 证明：若

【答案】由

又因为

数列

也有上界. 设正数

和

与内分别严格递增。

则

与

都存在且相等.

f 上界，因而

为递增数列，为递减数列，且

可知，数列为递减数列，所以是

的一个上界. 由

是有界数列，设正数M , 使得对一切n ，

于是，数列

可得

与

都存在. 再由

综上所述，得

都是单调有界的，所以

二、解答题

5． 设

为可导函数，求

【答案】

6． 求

型的不定式，都非常复杂，但用等价无穷小量替换可使

【答案】该题无论是化成

型还是问题简化. 因为

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所以原极限

7．

求

度，并求梯度为零之点。

【答案】因为在点在点因

令

解之得

8． 计算第二型曲线积分周

【答案】用位于x 轴上的线段

与上半圆周

形成一闭路，记所围区域为D ，则

所以

9． 计算

【答案】解法一：令

则

其中

为自

至

的上半圆

因此使梯度为零之点为

在点

所以：

在点

处的梯

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