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一、证明题

1． 设

是曲面

的非奇异点，F 在：

可微，且为n 次齐次函数. 证明：

【答案】由于F 为n 次齐次函数，且_曲面在处的切平面方程为

即

而由式知

故

由

知

曲

面

在

处

的

2． 证明：若

【答案】已知因为

其中在

之间，在

时有

3． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

上可积，且

在使得因之间，于是

即f (x ，y ) 在D 上一致连续. 上不变号，

所以有

由定积分的不等式性质，得

若

则由上式知

从而对任何实数

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此曲面在处的切平面方程为

. 故有

切平面方程

为

与在矩形域D 上有界，则f (x ，y ) 在D 上一致连续. 在D 上有界，即

有

当

分别为在上的上、

均有

若则

得

令

则

且

4． 证明：级数

【答案】考察

显然m 适当大时，有

从而

使

由于级数的通项趋于0, 故当

发散于

二、解答题

5． 设

在

上连续，求证：

【答案】分两种情况讨论. （1）如果

在

上不变号，则

即要证的不等式成立. （2）如果又因为故有

在在

上变号，则存在上连续，存在

使得

（用微积分基本定理）

即要证的不等式成立.

使得

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6． 求曲面方程

的切平面，使其垂直于平面

和

【答案】设曲面在点，：处的切平面垂直于所给两平面，由曲面在点P 。处切平面

知Po 应满足：

解得

故所求切平面为：

7． 设

(1) 求f (x ) 的傅里叶级数； (2) 级数是否收敛？是否收敛f (x ) ? (3) 级数在【答案】⑴

内是否一致收敛？

上

(2) f (x ) 满足收敛定理条件，所以f (x ) 的傅里叶级数在数轴上处处收敛. 在

(3) 因为f (x ) 的傅里叶级数的和函数在 8． 设大值.

【答案】先求f 在条件

下的最大值. 设

令

解得

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内不连续，所以级数在

在限制条件

内不一致收敛.

下的最

为已知的n 个正数，求