2017年北京信息科技大学理学院610数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
(1) 任给(2) 存在
为开集
，
存在
当
当在
可微，试证明： 时，有
时，有
(这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件) 【答案】(1) 因为，在其中
即
处可微，依定义
当
时，有
(2)
在其中
2． 证明：由曲面S 所包围的立体V 的体
积
为曲面S 的外法线方向余弦。
【答案】因
故原公式成立。
3． 设故只需考虑
故若当
证明数列
与级数_
收敛，必有时，有
与
与级数
间的关系. 因为
收敛；若，同时发散；
当
故若
进而
收敛必有
收敛，即有
收敛；若，
. 发散，则有
发散，
发散，必有
时
发散.
同时收敛或同时发散.
的敛散性相同，
为
其中
中取
则
使
故当
肘，有
【答案】注意到数列的敛散性与正项级数
发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.
4． 设定义在闭矩形域
固定的
上，若f 对y 在为y 的连续函数，
故对
上处处连续，对x 在
当
上(且且
关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.
【答案】
设
时，有
又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述
且
现取
便有
只要
且
时，总有
因此，f 在S 上连续.
也存在
对满足
的任何y ，
只要
二、解答题
5． 设
其中
表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明
只有有限个点
使
在X 为有理数划
因此
在D 上的二重积分存在而两个累次
因而存在一个分割T , 使
得
积分不存在.
【答案】因为对任何正
数当y 取无理数时，
然而，当y 取有理数时，在X 为无理数处函数
在任何区间上的振幅总大亍
即函数
以二重积分存在且等于零.
上关于X 的积分不存在. 显
然就不存在先x 后y 的累次积分.
同理可证先y 后x 的累次积分不存在.
6． 求下列均匀密度的平面薄板质心：(1) 半椭圆等腰梯 形•
【答案】(1) 设质心位置在
由对称性
(2) 设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为
由对称性
(2) 高为h ，底分别为a 和b 的
图
其中 7． 设
均为正整数数列，
证明:数列
均为正整数数列，利用已知的递推关系式可得
进而有
记下界.
另一方面
，
理，
存在，记为
在
即
这表明数列
单调递减. 由单调有界定解之得
则上式可化为
由此易得，
这表明数列
有的极限存
在，并求该极限值.
【答案】当
时，由
两边取极限，可得
8． 把函数
在(0, 4) 上展开成余弦级数.
【答案】对f (x ) 作周期为8的偶延拓，得一连续偶函数，故在(0, 4) 上可将f (x ) 展为余弦级数
.