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一、计算题

1． 回答下列问题:

（1）对极限（2）对（3）对

【答案】 （1）因为

因而

但是

即交换运算后不相等, 这是由于理条件.

（2）因为

然而

即积分次序不能交换. 这是由于对

, 不论M 多大, 总有

使得

因而（3）因为而

显然

与

不相等, 这是由于

在[0, 1]上不一致收敛,

在[0, 1]上不一致收敛, 所以不能交换积分次序.

所以

, 但是

且

在[0, 6]上不一致收敛, 从而不符合定

能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解？ 能否运用积分顺序交换来求解？

能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？

不符合定理的条件, 所以积分与求导运算顺序不能交换.

2． 作极坐标变换, 将二重积分

化为定积分, 其中【答案】如图所示:

•

图

令

, 则

3． 估计下列近似公式的绝对误差:

（1）（2）

, 当

当（2）由当

时,

时, 绝对误差的估计为

的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式得

, 把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计

【答案】（1）sinx 的麦克劳林公式为

4． 通过对积分区间作等分分割,

并取适当的点集算下列定积分:

（1）

（2

）

（3）

（4）

【答案】（1）因其分割为

,

取

在[0, 1]上连续, 所以f （x ）在[0, 1]上可积. 对[0, 1]进行n 等分, 记为区间

的右端点,

得

（2）同（1）, 有

（3）由

.

则

在

上连续知, f （x ）在[a, b]上可积, 对[a, b]进行n 等分,

记其分割为

, 取为区间

的右端点,

得

（4）同（3）, 取

, 得

5． 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数:

（1）只在（2）只在（3）只在【答案】

和三点不连续的函数 和二点连续的函数；

上间断的函数；

（4）只在x=0右连续, 而在其他点都不连续的函数.