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一、证明题

1． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且

, 有

*

证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将

在X 处作泰勒展开

将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得

当

时, 有

由三阶导数的连续性, 有

2． 设

（1）若（2）若【答案】（1）

, 由条件得

, 即

则由条件推出

3． 设函数f 在x=0处连续, f （x ）=0, 且

证明:【答案】先证

. 由已知条件,

或

由式（1）可得

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, 求证:

, 则f 为单射, g 为满射;

, 则f 与g 互为反函数.

使得即f 为单射.

, 故g 为满射; 若

, 有

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将上述不等式相加, 可得

令即

这表明同理可证

. 故

, 由于f 在x=0处连续, 所以有

二、解答题

4． 设圆台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm

, 高h=40cm, 若R , r , h 分别增加3 mm, 4 mm, 2 mm. 求此圆台体积变化的近似值.

【答案】圆台体积将R = 30, r=20, h=40及

5． 确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数:

（1）（2）（3）（4）

【答案】

（1）设

则

, 收敛半径R=﹣l.

当x=1时级数

发散, x=-l时级数

从而

代入上式得

也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）. 设

, 则

故

（2）设

则

故收敛半径

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当时, 原级数可化为级数发散, 故原级数的收敛域为

其中

又

故

（3）设

原级数可化为

因级数

的收敛域为（﹣1, 1）,

所以

原级数的收敛域为（

0,

2）, 所以

（

4）设

则

故1, 1].

设

时级数收敛, 又

时由莱布尼茨判别法可知级数收敛, 故原级数收敛域为[﹣

故

又

所以

从而

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