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一、证明题

1． 证明函数

【答案】因为

（x ）

在[0, 1]上的不连续点是故可积.

因此, 存在现设

设

于是有, 使对

的任何分法, 只要

是, 又显然有

所以f （x ）在[0, 1]上可积.

2． 证明:若L 为平面上封闭曲线, l 为任意方向向量, 则方向.

【答案】令（n , x ）, （l , n ）, （l , x ）分别表示外法线与x 轴正向, l 与外法线n 以及l 与x 轴正向的夹角, 则有:

由于

3． 设

与

为常数, 且

为n 个正数, 且

证明:

【答案】（1）由洛必达法则得

于是,

在[0, 1]上可积.

, 所以f （x ）在[0, 1]上有界, 且在[0, 1]

的任何部分区间上的振幅

. 任给

f x ）, 由于（在

就有

的满足1

的任意分割.

因此,

上只有有限个间断点,

.

其中n 为曲线L 的外法线

则由格林公式

（2）设, 有

因为

4． 证明下列结论:

, 由迫敛性知,

（1）设f （x ）在点x=0连续, 且对在则f （x ）

在则f

（x ）在【答案】（1）由由f （x ）在x=0处连续, 所以

故f （x ）在点

连续, 从而f （x ）在

, 于是对

令同理由（3）由

即f （X ）定号, 从而可知对

续, 利用（1）的结论知

在

5． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何

证明:存在最小值定理知,

, 使得

上连续可知, 得

对

得A=A+B,

即

,

令

有

上连续. 上连续;

, 且对

（3）设f （x ）在点x=0连续,

上连续;

（2）设f （x ）在

上单调, 且对

满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）, 则f （x ）

满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）,

满足f （x+y）=f（x ）f （y ）,

, 取x=y=0得f （0）=0.对

, 又

上连续. 上单调, 所以

得B=A+B, 即, 因为

, 于是都成立.

,

由已知得

上连续, 从而f （x ）在, 存在

. 使得

两边取对数得

和

当时,

（2）易知f （0）=0.因为f （x ）在都存在, 设

. 从而

上连续.

, 且f （X ）与f （-X ）同号,

在x=0处连上连续.

, 所以f （0）=l.对

在x=0处连续, 由（1）的结论知f （X ）在

【答案】由f （x ）在在上也连续. 由连续函数的最大、

在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为

若m=0, 则, 命题得证.

, 使得

, 使得

若m>0, 由题设知存在这与m

是 6． 设

【答案】已知

, 且满足

.

即

在[a, b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在

证明

:

有下界. 又由

的极限存在, 并求出其极限值.

可推出若a=0, 则

,

即单调递减. 由单调有界定理, 在不等式

存在, 记为a , 则

可知

矛盾.

两边, 令

由此可见a>0.再在不等式

中, 令

可得

, 即

, 解之得a=1.

二、解答题

7． 应用柯西准则判别下列级数的敛散性.

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）任意的自然数P ，

又

从而任给的

存在

当m>N时，对任意的正整数P ，有

，

由柯西准则得原级数收敛.

（2）当 p=l 时,

由柯西准则知原级数发散.

（3）任给的自然数p （不管是奇数还是偶数），