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一、证明题

1． 按定积分定义证明

:

【答案】对于和为

从而

可取为任何正数, 只要使

, 就有

根据定积分定义有

2． 证明:闭区间

【答案】设:设

, 不妨设

本身.

中有无穷多个实数, 故a 是

则

故的任意邻域内都含有设.

故综上所述,

,

令

, 即闭区间

的全体聚点的集合是

本身.

中的无穷多个点, 故为

,

则

的一个聚点. 总之

.

即不是

的聚点,

即

的一个聚点. 同理, b

也是

的任一分割

, 任取

相应的积分

的全体聚点的集合是的全体聚点的集合是M.

则

由实数集的稠密性知,

集合的一个聚点.

设

, 不妨设

3． 应用詹森不等式证明:

（1）设

, 有

（2）设【答案】设由

可知

, 有则

为区间

,

上严格凸函数根据詹姆森不等式有

, 其中

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即

因而

, 把这个不等式中的n 个正数换成

, 则得到

于是原不等式得证

. （2）设

a>0, b>0, p>1, g>1,

,

代入

得

于是

令

得

不等式两端同时乘以

, 再对

k=l, 2,

…, n 时的不等式两端分别相加

, 得

, 由（1）知－lnx 为凸函数, 令

二、解答题

4． 求曲线.

【答案】切向量

所以切线方程为

或

, x+y+z=0在（1, -2, 1）点的切线方程.

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5． 求

【答案】令

.

性知

易知其收敛域为

. 由幂级数的逐项可导

又f （0） =0，从而于是

6． 设f 为R 上连续函数, 常数

. 记

证明:f 在R 上连续. 【答案】（1）证法一, 因为

而f （x ）、c 连续, 由连续函数的代数运算知, F （x ）在R 上连续. （2）证法二, 设

则u （x ）处处连续, 又因为f （x ）连续, 由连续函数的运算法则知, 复合函数也是连续的.

（3）证法三, 直接用连续函数的定义证明. 设当

.

当若因此当对

时,

且

所以

若F （x ）=C, 则

时, 总有

同样可得, 故F （x ）在x 0连续.

, 如图所示, 其中当

时的叶形部分记作M. 求

7． 已知抛物叶形线

（1）M 的面积; （2）M 的周长;

（3）M 绕x 轴旋转所得旋转体的体积（4）M 绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积

, :

时,

设

, 由F （x

）的定义知

. 当

时, 显然F （x ）在连续.

, 因为f （x ）在x 0连续,

所以

, 则F （x ） =f（x ）, 所以