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一、计算题

1． 设

【答案】由故

, 且满足即

, 求证

:

有下界, 又由

,

（矛盾）

由此可见a>0, 进一步由极限的四则运算法则, 有

即得a=1, 即

2． 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积:

（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）（3）

.

为心形线方程, 它在极轴之上部分的参数方程式为

于是

（4）由

,

得

, 则

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的极限存在, 并求出极限值.

存在, 若a=0, 则

由广义极限的四则运算法则, 有

, , 绕X 轴;

绕x 轴;

, 绕极轴;

, 绕y 轴.

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3． 为了使计算出球的体积准确到1%, 问度量半径为r 时允许发生的相对误差至多应为多少?

【答案】球的体积公式为由

得

, 解得

, 于是

.

. 即测量半径r 时允许发生的相对误差至多

. 应为

4． 利用微分求近似值

:

（1）（2）（3）

（4）则

即

（2

）令

由（3）令所以

（4）所以

5． （1）讨论函数

（2）求函数【答案】 （1）显然

在

,

, 令.

在（0, 0）处的可微性. 下的最大值与最小值. ,

, 则

,

,

. ,

,

则

得

, 则

.

,

,

,

,

【答案】（1）令

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所以f （x , y ）在（0, 0）处不可微. （2）方法一作Lagrange

函数4

即

解得

再由由于值为﹣3.

方法二利用Cauchy-Schwarz 不等式

等号成立当且仅当即得

在

下的最大值为3, 最小值为﹣3.

，

即，

得所以

或者

在

则驻点为

下的最大值为3, 最小

二、证明题

6． 设函数f 在区间I 上满足利普希茨（

Lipschitz ）条件, 即存在常数L>0, 使得对I 上任意两点

都有

证明:f 在I 上一致连续. 【答案】对任给的故f 在I 上一致连续.

7． 证明:若f , g 均为

和g , 则

其中

为f 的傅里叶系数,

为g 的傅里叶系数.

上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在

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页，

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取, 则当且

时, 有

上的可积函数, 且它们的傅里叶级数在上分别一致收敛于f

【答案】依题意, f ﹢g 与f ﹣g 均为上