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一、证明题

1． 设级数

【答案】设

收敛于A （有限数）. 证明

：

，则有

，

故有

.

，所以

.

2． 设f （x ）在[-1, 1]上可积, 且在点x=0处连续设

证明

.

【答案】因为f （x ）在[-1, 1]上可积, 所以f （x ）在[-1, 1]上有界, 设界为M ,

即

.

|时,

有. 又因为f （x ）在x=0处连续, 所以当通过计算易知

为此, 将积分分为三段进行估计:

>

而

综上可知, 原结论成立.

第 2 页，共 31 页

, 因此, 欲证结论成立, 只需证

3． 设f 为定义在上的连续函数, a 是任一实数,

证明E 是开集, F 是闭集. 【答案】对任一点存在

的某邻域

故E 为开集. 下证F 是闭集.

设

是F 的任一聚点, 则存在F 的异点列

使

且f （x , y ）在P 0连续,

从而

4． 设数列

证明:（1）若（2）若

满足:

有界, 则

也有界;

有界知, 存在M0, 使得

, 由递推关系式可知,

收敛, 则

也收敛.

可见

故F 为闭集.

由

使当

2

因为f 在R 连续, 从而由连续函数的保号性知,

时

即

从而

【答案】（1）由己知条件

由此可知, （2）设

有界. ,

则

当nN 1时, 有

即

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. 于是有

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对上述

故

. 当

nN 时, 可使

, 从而, 当nN 时, 有

二、解答题

5． 计算第二型曲面积分

其中S 是平行六面体

（h （z ）为S 上的连续函数

.

【答案】设平行六面体在yz , zx , xy 平面上的投影区域分别为

, 则有

6． 求函数

在该点切线方向导数.

【答案】因曲线过点（1, 2, ﹣2）, 所以

M 的切线方向的方向余弦为:

而

故所求方向导数为

:

7． 求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:

（1）（2）

【答案】（1）因

在点, 在点

所以切线方程为

即

法平面方程为

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g （y ））的表面并取外侧为正向, f （x ）、、

在点M （1

, 2, ﹣2）处沿曲线

于是

故曲线在点