2018年华北水利水电大学数学与信息科学学院701数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若函数f （x ）在（a , b ）内有连续导数
则函数列【答案】因为
即函数列取朗日定理得
由
在
上连续, 从而一致连续,
则
, 当满足
即
时有
于是
0有
, , 即
在
上一致收敛于, 使得
, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x ）在[a, b]上
,
, 使得
, 即
, 当n>N时,
.
,
对
, 对
的极限函数为
.
, 当
时有
. 于是当
时, 由拉格
在（a , b ）内闭一致收敛于函数
, 且
.
, 存在正整数
2． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在
【答案】令
连续, 在（a , b ）内可导, 且有
故由罗尔中值定理知, 存在
二、解答题
3． 设f （x , y ）为连续函数, 试就如下曲线:
（1）L :连接 A （a , a ）, C （b , a ）的直线段;
（2）L :连接A （a , a ）, C （b , a ）, B （b , b ）三点的三角形（逆时针方向）, 计算下列曲线积分:
【答案】曲线如图所示,
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图
（
1）直线段
L （
AC ）的方程
y=a,
所以
（2）
4． 求曲面az=xy
包含在圆柱
【答案】设曲面面积为S. 由于
所以
5． 设
, 其中D 为
. 应用广义极坐标变换,
在平面上二次连续可微,
；
.
内那部分的面积.
（1）用u 关于r , 的偏导数表沄
（2）用u 关于r , 的一、二阶偏导数表示【答案】 （1）
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（
2
）
6．
计算
, 其中S 为圆锥表面的一部分
这里为常数【答案】由于
.
则
7．
【答案】原式=
8． 试讨论方程组
在点（1, ﹣1, 2）的附近能否确定形如x=f（x ）, y=g（z ）的隐函数组？ 【答案】令
①
F , G 在点（1, ﹣1, 2）的某邻域内连续；
②F （1, ﹣1, 2）=0, G （1, ﹣1, 2）=0; ③④隐函数组.
则
均在点（1, ﹣1, 2）的邻域内连续；
故由隐函数组定理知, 在点（1, ﹣1, 2）的附近所给方程组能确定形如x=f（z ）, y=g（z ）的
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