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一、计算题

1． 求下列极限:

【答案】（1）因

（x>0, y>0>）所以

（2）

2． 求函数向导数.

【答案】易见u 在点（1, 1，2）处可微，故由

得

3． 求极限:

【答案】（1）因为x , 连续点. 于是

（2）该函数在x=1处为右连续, 于是

4． 设

试证:【答案】

其中

因为

.

, 代入①式, 得

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.

在点（1，1，2）处沿方向1（其方向角分别为，，）的方

都是R 上的连续函数, 所以当时, x 是的

在亦在

上一阶可微, 且

上单调递减.

在上单调递减,

在单调递减.

内那部分的面积.

5． 求曲面az=xy包含在圆柱

【答案】设曲面面积为S. 由于

所以 6． 设

【答案】

, 求

.

, 其中D 为. 应用广义极坐标变换,

,

而

二、证明题

7． 设

在

上连续,

绝对收敛, 证明:

【答案】因为因为

绝对收敛, 当n 足够大的时候

由于的任意性, 所以命题成立.

8． 求证

:

.

, 使得

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连续, 所以当n 足够大的时候

【答案】对任意给定的x>0, 由柯西中值定理,

只需再证明

将（1）式左端中的变易为x 作辅助函数

.

由此可见

是函数f （X

）在

内的惟一极值点, 并且是极大值点.

从而

是函数f （X ）的最大值点于是

显然由（2）式推出（1）式, 所以本题结论成立.

9． 证明:若函数f （x ）在（a , b ）内有连续导数

则函数列【答案】因为

即函数列取朗日定理得

由

在

上连续, 从而一致连续,

则

, 当满足

即

时有

于是

0有

, , 即

在

上一致收敛于

, 当n>N时,

.

为D 内任一点, 证

,

对

, 对

的极限函数为

.

, 当

时有

. 于是当

时, 由拉格

在（a , b ）内闭一致收敛于函数

, 且

.

, 存在正整数

10．设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为L x 和L y , D 的面积为明

（1）（2）因此

并且

,

【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a, b]和[c, d].

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