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一、证明题

1． 设

（1）

均有【答案】

处处连续,

对任何x 有连续导数；

上, 当足够小时, 可使

）.

与

一致逼近（即任给

,

对一切

其中为任何正数, 证明:

（2）在任意闭区间

因为

处处连续, 所以

连续, 即

对任何x 有连续导数

.

所以由洛必达法则可得

故对任给

2． 按定积分定义证明

:

【答案】对于和为

从而

可取为任何正数, 只要使

, 就有

的任一分割

, 任取

相应的积分

当足够小时, 对一切

均有

即所证结论成立.

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根据定积分定义有

3． 证明

在

上一致连续.

,

由, 任取

,

且

在

,

设

, 则有

由

故f （x ）在

4． 设

当当即

. 求证

:

时,

时, 结果显然成立.

时, 利用一个显然成立的不等式

:

可导出:

有

因此, 取因此,

. 于是当

在

设时, 有

上一致连续.

, 令

, 则

。

, 得

于是, 取上一致连续.

在区间

上一致连续. 上显然一致连续. , 则当

时, 有

在

[0,

1]上连续,

据一致连续, 有

对任给的知,

f （

x

）在

（2）证法二:设

, 可取

, 只要

,

就有

上一致连续.

由定义

上一致连续, 综上, 可知

【答案】

（1）证法一

:

定理知, f （x ）在[0, 1]上一致连续. 对

【答案】当

二、解答题

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5． 求抛物体, 匀棒的重心. 所以

的重心和绕z 轴的转动惯量（已知抛物体的密度为1）.

看成求质量不均

【答案】取自变量微元[z, z+dz], 把相应的体积微元的质量

:

求转动惯量时, 把抛物体看成由曲线

绕z 轴旋转而得, 如图所示:

图

取自变量微元[x, x+dx], 则相应的面积微元为轴旋转而得的体积微元的质量为

于是

6． 设:

二阶可导, 且有稳定点; f :

且

, 它是如图中的区域A , 把区域A 绕Z

从而转动惯量微元为

（1）试求f 的所有稳定点;

（2）证明f 的所有稳定点都是退化的. 即在这些稳定点处, 【答案】（1）因为

r

令.

（2）设所以

即

是退化矩阵（即在稳定点处）.

,

则

设的稳定点的全体为D , 所以f 的所有稳定点的全体

为

, x 0是, 的一个稳定点, 因为

*

为退化矩阵（n=1时结论不一定成立）.