2017年复旦大学人体解剖学、高等数学(同等学力加试)之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 计算二重积分大整数。
【答案】将正方形区域D
用三条直线
。如图所示。
分成四个区域：
，其中
，
表示不超过
的最
即
故
2． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。
【答案】因 3． 计算
【答案】
4． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x2此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）方程为
，即微分
，其中
与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有
2
。
二、计算题
5． 设有摆线
试求：
（1）L 绕x 轴旋转一周所得旋转面的面积； （2）L 上任意点处的曲率； （3）L 与x 轴所围平面图形的形心【答案】（1）由于
。
，
则该旋转面的面积为
由曲率公式，L 上任意点处的曲率为
（3）由平面图形的形心公式，有
当
时
对应
，相应地
，则
因此
。
。
由对称性知，x=0。故求平面图形的质心为
6． 计算下列三重积分：
（1）
，其中是两个球：
和的公共部
相关内容
相关标签