2017年复旦大学高等数学(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得
2． 求函数
令其为0，解得驻点为
又闭区域
在区域
对
的偏导，得
。
在直线
上，
，则令
在直线在直线
上，上，
，则令，则令
，得
，得
在直线
上，
，则令
，得
比较以上所有函数值，可知函数Z 在D 上的最大值为1，最小值为0.
3． 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin 5tV （伏）串联组成的电路. 开关K 合上后，电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意，有
，即
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的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
即得 ，并
将
后，便是原方程的通解。
上的最大、最小值。
，并
代入上式，
有
，代入
【答案】由题意，分别求出函数
。可知，该驻点在区域D 内，且
的边界由四线段构成：
其中，记
，则
故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯，可写成
4． 求下列各微分方程的通解
【答案】（1）
（2）
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（3）
（4）
令
即
再积分得通解（5）令
则
且原方程可化为
积分得通解
（6）令积分得（7）
令
积分得
即即通解为（8）令
，故
分离变量，得
由于
两边平方，得
（9）说明方程用如下方法求答:在f （y ）的原函数，则有
本小题按上述方法求答:
用
属于的两端乘以
型方程，除了设，得
即
即
故
则
分离变量，得
且原方程化为
故上式两端积分，
来降阶求解外，还可以
若F （y ）是
，
分离变量，得
，
积分得
则
积分得
则
即
且原方程可化为
再积分，得通解
且原方程化
为
分离变量，得
分离变量，
得
利用一阶线性方程的求解公式，得
则
且原方程化
为
分离变量，
得
积分
得
积分得到降阶方程乘方程
的两端，
得
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