2017年广西民族大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长。
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 【答案】（1
）
。
（2）
2． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
3． 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解
（l ）（2）（3）（4）
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，则 ，
【答案】（l ）由（2）由于是解。
（3）由进而得于是
，得
，得，得
，，故，进而得，
故，
。
是所给微分方程的解。
，
是所给微分方程的
故（4）由
不是所给微分方程的解。
，得
，进而得
于是
=0 故
是所给微分方程的解。
4． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则它们是线性相关的，否则就线性无关，因此本题中除了
（2）（3）（7）性无关。
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即（2）（3）（7）中的函数组线性相关外，其余的7个函数组中两函数之比不是常数，从而线
二、计算题
5．
设
在
的某邻域内具有三阶连续导数,
如果
, 不妨设时
,
时
时,
为曲线的拐点。
6． 估计下列各积分的值:
【答案】（l ）在区间[1, 4]上,
, 因此有
（2）在区间
,
（3）在区间即
上, 函数, 故有
（4）设（0）,
, 则
,
在[0, 2]上的最大值、最小值必为f
, 因此有
是单调增加的, 因此
,
, 因此有
, 由于, 故
在
,
即函数
, 即函数f （x ）在
在
,
而
,
试问
是否为拐点? 为什么?
【答案】已知在3>0,
当
,
从而当
凸的, 当
的某个邻域内连续, 因此必存内
在
单调增加。又己
知
内的图形是
内的图形是凹的,
所以点
, f （2）中的最大值和最小值, 即最大值和最小值分别为f （2）=2和
而
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