2017年广西民族大学高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
于是
代入（s ）。
2． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由
即
得
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，代入初始条件：t=0，h=0，得
，即得，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得
，代入
，并
将
后，便是原方程的通解。
, 对于
代入上式，
有
3． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
2
，上任一点P （x , y ）
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
，积分得。
，
即得微分方程
，因
，故有
二阶可导，
，
，
令
，
有
。
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
4． 设又
【答案】由
，其中，求函数值
可得
。
，
由对称性可知
又
，则
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则又
，故
，则
。
，故
则
。
二、计算题
5． 当
时，
，问x 等于多少，可使得当
，要使
时，就有
，其
中，
其中
何意义说明柱体位于
与
之间的关系。
、顶为曲面:的曲顶柱体
。由此可知
的曲顶
的体积（图）. 由于
分成四个
表示底为
、顶为曲面
:
。
；
又
。试利用二重积分的几时，，只要
，即
，
【答案】因为取
，则当
6．
设
【答案】解法一:由二重积分的几何意义知，表示底为的体积; 上方的曲面:
关于yoz 面和zox 面均对称，故yoz 面和zox 面将
等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为
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