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一、选择题

1． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

2． 设向量组

=（ ）.

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

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线性无关.

因为所以向量组线性无关.

3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

4． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即 5． 若

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

都是4维列向量，且4阶行列式

由②有

为空间的两组基，且

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

二、分析计算题

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6． 设

与是数域P 上两个线性无关的n 维向量组，证明：

的维数等于齐次线性方程组

的解空间的维数.

未知量的个数为s+t, 因而

【答案】方程组（3-30）的系数矩阵是解空间W 的维数是

由维数公式，得

这里注意到：向量组与等价，其秩相等.

7． 证明:实对称矩阵A 是半正定的充分必要条件是A 的一切主子式全大于或等于零（所谓k 级主子式是 指形为

的k 级子式，其中【答案】设

是一个n 级实对称矩阵. 用

表示A 的一个k 级主子阵：

用表示A 的一个k 级主子式：

必要性. 如果A 是一个半正定矩阵. 那么

是一个半正定二次型. 令

得到一个k 元实二次型

.

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