2017年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令
则方程组①可改写为
其中
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由 3． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则
【解析】方法1 用排除法令
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 在欧氏空间
【答案】易知
中，将以下向量组正交标准化：
线性无关. 先对其正交化：
再对
标准化：由于易知
故得正交标准化向量组为：