2017年闽南师范大学物理与电子信息工程系615分析与代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 第 2 页，共 44 页 使AB=0, 则（ ） . 由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 时， 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则线性方程组（ ）• 【答案】D 【解析】 4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）. A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C 【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有 又 所以有 即A*右乘初等阵P （1，2）得-B* 解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此 即 是（ ）二次型. 分别为A ，B 的伴随矩阵， 5． 二次型 A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1 方法2 设二次型矩阵A ，则 是不定二次型，故选B. 第 3 页，共 44 页 由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式 从而否定D ，故选B. 二、分析计算题 6． 证明：对欧氏空间中任意向量 【答案】根据三角形不等式得 在此不等式中，将与互换，又得 但故 由（2）得 7． 设T ，S 为线性空间 的如下两个变换： 证明：对任意正整数k 均有 【答案】T , S显然都是 的线性变换. 又因为 故 假定（1）式对后成立，下证对 即成立： 故（1）式对任意正整数k 均成立. 8． 设 是实数，证明：实二次型 正定的充要条件是【答案】因为 第 4 页，共 44 页 都有 时（1）式成立.