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一、计算题

1． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 求极坐标

的联合密度.

【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

则

所以

由此得

和

的联合密度函数为

2． 假设只考虑天气的两种情况：有雨或元雨. 若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p ，变的概率为1-p. 设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率.

【答案】设事件

为“第i 天无雨”，记_1

所以由全概率公式得

得递推公式

所以

将由此得

3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.

【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p ，由

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则有且

代入上式可得

解得P=l/9.

4． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：

在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为

由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是而

因而，检验的统计量为若取拒绝原假设.

由于u 在成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为

5． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率.

【答案】记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有四个等可能样本点：

若令事件A 表示“取出的两个正整数之

和为偶数”，

则从而P （A ）=1/2.

6． 设为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为

试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？

【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.

7． 设事件A 和B 互不相容，且P （A ）=0.3，P （B ）=0.5，求以下事件的概率：

（1）A 与B 中至少有一个发生： （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生. 【答案】⑴（2）（3）

则

检验的拒绝域为

由于u=—2.1落入拒绝域，故

，则要检验的假

8． 有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到五个房间中的任一间中，试求：

（1）三个人都分配到同一个房间的概率；

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（2）三个人分配到不同房间的概率.

【答案】“三个人分配到五个房间”的所有分法数为房、都在四号房、都在五号房，共5种可能. 所以

（2）若事件B=“三个人分配到不同房间”发生，则第一个人可分配到五个房间中的任一间，而第二个人只可分配到余下的四个房间中的任一间，第三个人只可分配到余下的三个房间中的任一间. 因此事件B 有

种可能，所以

注：可将此题看成是3个（可辨的）球放入5个（可辨的）盒子中的盒子模型.

这是分母.

（1）因为事件A=“三个人都分配到同一个房间”包括：都在一号房、都在二号房、都在三号

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