2017年北京师范大学数学科学学院762数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：
对
一致收敛.
【答案】这个积分有无穷多个奇点，所以需要将这个积分写成级数形式
.
对而言，t=0为奇点. 由对而言，综上可知，
2． 证明：若
【答案】(1) 若因
为
(2) 当且仅当a=0时，由，证明如下：由. 是
如果
数列
则则
【答案】(1) 由
知，
当时
固定
时，有
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的收敛性知，在[0, b]上一致收敛. 的收敛性知，在[0, b]上一致收敛.
为奇点. 由
在[0，b]上一致收敛. 则
则对任意
当且仅当a 为何值时反之也成立？
存在N ，使得n>N时，
当n>N时，也
有
此时，命题变为：
知，对任意
满足
存在N ，当n>N时，
但数列
是发散的.
即
于
于
是
所以对于任
意
可推出
3． 用定义证明:(1) 若
(2)
若
，有
其中
，
上述
当
时，有
从而
(2)
令
则当
时，
于是
由(1) 知，上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上，由
知，
有界，即存在
使
故
从而(2) 的极限是ab.
4． 证明:
(1) 可导的偶函数，其导函数为奇函数； (2) 可导的奇函数，其导函数为偶函数； (3) 可导的周期函数，其导函数仍为周期函数. 【答案】(1) 设f (x ) 为偶函数，则对任意
有
设I
则
故
是奇函数.
有
设
则
故
是偶函数.
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对固定的而言，它是一个确定的常数. 故对
(2) 设f (x ) 为奇函数，则对任意
(3) 设f (x ) 是以T 为周期的周期函数. 对任意
故
也是以T 为周期的周期函数.
二、解答题
5． 求函数
在该点切线方向导数. 【答案】因曲线过点切线方向的方向余弦为：
而
故所求方向导数为：
6． 求方程
【答案】
设
增. 由于
的根的近似值，精确到
因为
于是取
现估计近似
根迭代。
由于已经精确到
故取近似根
所以
7． 计算下列二重积分：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
其中其中
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在点处沿曲线
所以
于是
故曲线在点的
所以
所以实根在区间
在
上严格递
内，在此区间上，
的误差
.
故
在上的最小值
为
而
不满足精度要求，继续
其中其中
其中