2017年北京师范大学数学科学学院762数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 按
(1
) (2
) (3
)
【答案】(1)
对任意
由
则当
时.
(2) 因为
所以
对任意
由
得
取
则当故
(3) 当n 为偶数时，
当n 为奇数时，
对任意
2． 证明：函数
【答案】下面用归纳法证明
命题成立. 设.
其中
在x=0处n 阶可导且
为次数不超过3n 的多项式. 当n=l时，
其中
满足要求，则
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定义证明：
故
时，
取则当时，故
其中n 为任意正整数.
因为故
的次数不超过3n ，
所以
的次数对任意
成立.
由于对任意的
3． 设f 为区间上的单调函数. 证明：若
【答案】设f (x ) 为上的单调递增函数得f (x ) 在调有界原理知
内递增且以
与
为上界，
为的间断点，则必是的第一类间断点. 若不是的端点，则存在的某邻域
内递增且以
使
为下界，由函数极限的单
所以
的次数不超过
于是
都存在.
故若为f 的间断点，则必是f 的第一类间断点. 当为的
左(右) 端点时，f (x ) 在的右(左) 极限存在，故若为间断点，则必为第一类间断点.
4． 试确定函数项级数
【答案】由于
所以当
时级数绝对收敛，
当
时级数发散，当
时，因为
因而级数发散，于是级数的收敛域为(-1，1) .
设
当
求证f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
时有
由根式判别法知上连续，由
收敛，
所以
的任意性知f (x ) 在(-1，1) 内连续
.
在
上一致收敛，从而f (x )
在
的收敛域，并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.
在(-1，1) 内非一致收敛.
事实上，设
取
则
即
在(-1，1) 内不一致收敛于0，所以函数项级数
在(-1，1) 内非一致收敛.
二、解答题
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5． 设周期为2π的可积函数
试问的傅里叶系数【答案】
满足以下关系式：
的傅里叶系数
有什么关系？
6． 设及
【答案】其中
其中
7． 利用定积分求极限：
【答案】（1）把极限化为某一积分的极限，以便用定积分来计算，为此作如下变形：
这是函数
在区间
上的一个积分和的极限. 这里所取的是等分分割，
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其中在
上可导，求
而