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一、证明题

1． 证明域

使得

在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是：对任意在，所以

收敛于f.

充分

性

当

上所有点时，

取所以

2． 证明：若S 为封闭曲面，为任何固定方向，则

【答案】设n 和的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得

由的方向固定，

原式=

3． 求

【答案】

由

上收敛.

又由

上一致收敛.

由可微性定理，有

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存在的一个邻

上一致收敛于f. 总存在

的一个邻域而由已

知

时

，

和I 的一个内闭区间[a, b]，

使得

在

上一致

在[a, b]上一致收敛于f ，因此

使

得

有

在

【答案】

必要性

上一致收敛于f. 从

而

显然，当取遍[a，b]

覆盖[a, b].由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b].不妨设

，有

则当n>N时，

在I 上内闭一致收敛于f.

其中n 为曲面S 的外法线方向。

和

则

在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性，得

都是常数，故由高斯公式得

及

的收敛性知

，

在

及的收敛性知，

积分

在

即

解此常微分方程可得

二、解答题

4． 求由下列方程所确定的隐函数的导数

.

【答案】(1) 方程两边对x 求导，则

所以

(2) 方程两边对x 求导数，则

所以(3) 设所以(4) 令

则

则

将

代入上式，即

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(5) 令所以

则

(6) 把z 看成x ，y 的函数，两边对x 求偏导数，则有

所以

把x 看成y ，z 的函数，两边对y 求偏导数，则

所以

把y 看成z ，x 的函数，对z 求偏导数，则

所以

对于轴上一点

对于点

处的单位质量的

处的单位质量的引力；(3) 均匀密

5． 计算下列引力：(1) 均匀薄片引力；(2) 均匀柱体

度的正圆锥体(高h , 底半径R ) 对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.

【答案】(1) 设物体密度为U , 由对称性，引力必在Z 轴方向上因此

故

(2) 设物体密度为

则由对称性知

，

下求F ；

故

其中k 为引力系数.

(3) 设物体密度为p ，由对称性知

只需求

，设顶点坐标为

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