2017年青海民族大学数学院821数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设故只需考虑
故若当
证明数列
与级数_
收敛，必有时，有
与
与级数
间的关系. 因为
收敛；若，同时发散；
当
故若
收敛必有
收敛，即有
收敛；若，
. 发散，则有
发散，
发散，必有
时
发散.
同时收敛或同时发散.
的敛散性相同，
【答案】注意到数列
的敛散性与正项级数
进而发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.
2． 证明下列不等式：
【答案】(1)
所以有
(2)
所以有
3． 证明下面的方程在点(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y ) ，将f (x , y ) 在点(0, 0) 展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.
【答案】令
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并
则F (x , y , z ) 在点(0，0，0) 的邻域内连续，
在点(0, 0, 0) 的邻域内连续，且由隐函数求导法则易知
所以
于是
于是由隐函数存在定理，方程F (x ，y , z ) =0在点
(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y ) , 满足f (0, 0) =0.
二、解答题
4． 求下列不定积分：
【答案】
（4）因为
所以
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（5）因为
所以
（6）
5． 设S
是椭圆面
为点
的上半部分，
点到平面的距离，求
为S 在点P 的切平面
，
【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为
由此易知
由S 的方程
有，
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