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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

则A 与B （ ）.

使

因此A 与B 合同.

2． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解

从而

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线性无关.

方法2:对向量组C ，由于线性无关，且

因为所以向量组

3． 设线性方程组的解都是线性方程组

【答案】（C ） 【解析】设

的解空间分别为

线性无关. 的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

5． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到

是

的一个特解，所以选C.

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是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组（否则与

的两个线性无关的解.

二、分析计算题

6． 问：方阵

【答案】易知在复数域上，解

可否对角化？若可对角化，求可逆方阵C 使

为对角矩阵.

因此，

故A 的特征根（即特征多项式在复数域内的根）为：即

在有理数域或实数域上A 不能对角化，但在复数域上A 可对角化.

得一基础解系：再解

即

得一基础解系：令

7． 求齐次线性方程组

的解空间（作为欧氏空间

的子空间）的一标准正交基. 便有

【答案】易知方程组系数矩阵的秩是2, 从而有三个自由未知量，解空间是三维的.

取

作为自由未知量，可得一基础解系（即解空间的一基）

：

将

此基正交化，可得解空间正交基：

再标准化，可得解空间一标准正交基：

8． 求k , s, t满足何条件时有

【答案】解法

I

则其商必为

即

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