2017年闽南师范大学物理与电子信息工程系615分析与代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
2． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
.
则
也不是线性变换，
比如给
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
3． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
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的3个线性无关的解，为任意
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
4． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设
即证秩
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 设
证明：【答案】记由
是线性空间的同构映射，而同构映射保持向量组的线性相关性，故
7． 设
求（1） A 的所有特征值与对应的特征向量；
（2）找出一个可逆矩阵P ，使得A 与一个对角阵相似； （3）应用A 的特征多项式，求【答案】（1）计算可得
所以A 的特征值为
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是II 维线性空间V 的一组基，A 是一个
的维数等于A 的秩.
由式（6—21）知
在基
矩阵，且
_的坐标，
当
时，得特征向量
且A 属于特征值 （2）的全部特征向量为且A 属于特征值当且A 属于（2）令
则P 即为所求，因为
（3）由①式及凯莱定理知，
所以
8． 设f （x ）是一个复系数多项式，证明：
是实系数多项式；
则f （x ）无实根，问：反之如何？
【答案】①设其中②由故项式.
③反证法. 若f （x ）有实根故
也是.
的根，这与
则由
得矛盾.
不一定互素. 例如，
就是一例.
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当
时，得特征向量，
的全体特征向量组为
时，得特征向量
的全部特征向量为
是f （x ）的所有系数换成其共轭复数后所得到的多项式，
并令反之亦然.
. 两边取共辄，并根据其轭复数性质得
但d （X ）次次且首系数都是1，故即d （X ）是一实系数多
反之，若f （x ）无实根，则f （x ）与