2017年内蒙古大学数学科学学院861高等代数与常微分方程之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
线性相关，所以线性相关，故选A.
是（ ）二次型. 于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
，
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
的解，则（ ）。
则
所以
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】秩
5． 设线性方程组
未知量个数，
的解都是线性方程组
的解空间分别为
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
二、分析计算题
6． 证明：次数且首项系数为1的多项式对任意的多项式
必有
是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为：或者对某一正整数
【答案】必要性. 如果f （x ）是一个不可约多项式p （x ）的方幂：
那么或后一情况
故有
充分性. 如果f （x ）不是一个不可约多项式的方幂，那么f （x ）可表成
其中
不可约，
对上式中的g （x ）, 就有
而且对任一正整数m ，
与假设矛盾，所以f （x ）必须是一个不可约多项式的方幂 7． 令的第
是
的一个排列，对于任意一个. 作为第
行所得矩阵.
矩阵A ，
B
（2）对任意【答案】（1）而（2）由于比如
则
故A 不相似于
矩阵A ，令表示依次以A
（1）证明：对任潼
矩阵的
1与A 是否相似？ 元等于AB 的
元，即为
的
与
元也等于②式. 故
的行的位置发生变化，所以A 与
不一定相似.
（因为相似矩阵有相同的特征值）.
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