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一、证明题

1． 证明下列结论:

（1）设函数列对收敛, 则

（2）设散, 则

在[a, b]上非一致收敛. 【答案】（1）由已知令单调, 所以

由M 判别法知级数（2）假设及

由于

有

都在[a, b]上连续, 令

对上式取极限得

对任意正整数p 都成立, 由柯西收敛准则知

收敛, 矛盾. 故

在[a, b]上非一致

和,

则由

.

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛.

在[a, b]上一致收敛, 则

, 存在正整数N , 当n>N时, 对任意正整数p

都收敛.

知

收敛.

由

在[a, b]上

中的每一项

都是[a, b]上的单调函数. 若

和

都绝

在[a, b]上绝对收敛且一致收敛;

都在[a, b]上连续, 级数

在[a, b]上处处收敛, 而在x=b处发

收敛.

2． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设若于是有同样, 若若

取

得证；

若

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若

取

若

得证； , 取

取

于是有如此继续可得闭区间套满足

且满足

且

所以

故有

于是由闭区间套定理知存在惟一的因为

由于

在

处连续, 故

3． 设a>1, b>1为两个常数,

定义在

有

【答案】由由及对故

, 当

可推得

时, 有

. 证明

:

上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对

.

, 而b>1

知f （

0）=0, 故只需证明

, 于是取

, 当

时有

, 从而

（n 为任意正整数）, 而f （x ）在

x=0附近有界,

所以

, 由b>1可知存在正整数N , 使得

4． 设u （x , y ）, v （

X , y ）是具有二阶连续偏导数的函数, 证明:

（1）（2）其

中

D

为

光

滑

曲

线

L

,

是u （x , y ）, v （x , y ）沿曲线L

的外法线n

的方向导数. 【答案】在格林公式中

, 以P 代替Q , ﹣Q 代替P 得

其中n 是L 的外法线方向. （1）在（a ）中令

’

则得

即

（2）在（a ）中, 令

则得

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所

围

的

平

面

区

域

,

而

即

（c

）式减（b

）式得

5．

设f 为

上的奇（偶）函数. 证明

:若f 在

则

上增, 则f 在

上增（减）. , 并且

于是

【

答案】设

如果f 为奇函数, 则 即f

在即f 在

6

． 已知

求证

时,

上为增函数.

如果f 为偶函数,

则

上为减函数.

【答案】当则要证的不等式等价于

令

则

而

故

从而有

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