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一、证明题

1． 确定常数a , b , 使当

证明:

,

【答案】

于是

欲使f （x ）为三阶无穷小量, 必须有

时

,

为x 的3阶无穷小.

解之得 2． 设

证明:【答案】因

即可.

设即所以故 3． 证明:

【答案】

且当

有时有而

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

在D 上一定可取得

处

在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于故

的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

最大值和最小值, 下证

不可能在D 内部取得极值,

:在

内连续.

, 关于x 在

, 所以当

时在

内单调递减,

上一致收敛于0.

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由狄利克雷判别法知,

一致收敛, 又被积函数连续

, 于是F （y ）在

4． （1）变换x+y=u, y=uv把区域雅可比行列式

在上一致收敛,

即F （y ）在内连续.

变为区域

内闭

. 试求

（2）取

y 为因变量, 解方程

【答案】（1）方法一把x , y 写成u , v 的函数x=u （1－v ）, y=uv, 所以

逆变换的雅可比行列式为

方法二 若变换不易解出x

, y 或u

, v 时

, 我们只能用隐函数求偏导数方法来求雅可比行列式, 一般来说所得行列式可以含有变量x , y, u, v. 方程组先对u 求偏导数, 得

解出

再对v

求偏导数, 得

解出

所以

（2）由（1）启发, z=z （x , y ）中把x , y看成自变量, 对x 求偏导数, 得

解出

再对x 求偏导, 得

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将代入上式, 有

利用条件得出

5． 令f 是R 上周期为

和y 取为因变量以及隐含条件的函数，当

时满足

, 所以

, 由此解出

（1）证明f 的傅里叶级数具有形式并写出b n 的积分表达式.

（2）该傅里叶级数是否一致收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. （3）证明

是奇函数，所以f 的傅里叶级数具有形

式

且

【答案】（1）由

于

（2）不一致收敛. 由傅里叶级数收敛定理知

由于b n sinnx

在敛.

（3）由干

在

上可积且平方可积，所以Parseval 等式成立

6． 设

为开集,

, 存在

. , 当

在, 当

可微, 试证明:

时, 有

（2）存在

时, 有

（这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件） 【答案】（1）因为, 在其中

即

处可微, 依定义

, 当

时, 有

使

故当

（2）在（1）中取其中

. , 则

时, 有

上连续，但和函数在

上不连续，所以该傅里叶级数不一致收

（1）任给