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一、证明题

1． 设f , g 为定义在D 上的有界函数, 满足

（1）（2）

【答案】（1）设于是, 是（2）设于是是

2． 证明函数

在

上连续. （提示:证明中可利用公式

据

所以

为积分下限函数是﹣y 的连续函数, 所以F （y

）在

3． 证明二重积分中值定理.

【答案】中值定理:若f 为有界闭域D 上的连续函数, 则存在

因为f 在D 上连续, 所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m , 对D 中一切点有:

可知:

即

再由定理知, 存在

4． 设二元函数

证明:对任意

在区域

成立

.

证明:

只需证

只需证

的一个下界, 而是

因对一切

, 有

有

的一个上界, 而是

的最小上界, 故

. 因为对一切的最大下界, 故

【答案】令 x －y=u, 因此 x=u＋y ,

上连续.

, 使得

,

, 使得,

上可微, 且对

, 有

【答案】应用微分中值定理, 有

其中介于x 1与x 2之间

,

介于

5． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如

收敛，证明收敛，故

与

之间.

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

在比较原则可知级数发散.

收敛.

6． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式:

（1）

（2）

考察正项级数

的收敛性，因为

所以（2）设

从而级数

收敛. 由级数收敛的必要条件知

考察正项级数

的收敛性，因为

所以

7． 设函数f 在连续. 且有

若若综上, 存在

, 则

, 使得, 则取

或

, 即有

.

使得

, 即

. 由根的存在性定理知, 存在

.

从而级数

收敛. 由级数收敛的必要条件知

上连续, 且

. 证明:存在点. 由f （x ）在

, 使得上连续可知F （x ）在

. 上也

【答案】 （1）设

【答案】作辅助函数

二、解答题

8． 设

【答案】归纳法易知

即

求

有上界, 然后又因为

所以数列单调递增, 所以由单调有界定理知设

9． 求下列幂级数的收敛区间:

（1）（2）

【答案】（1）记

, 则

对

极限存在.

解

得

即

两边取极限

得

所以原幂级数的收敛区间为（﹣1, 1）. （2）令

, 则原级数变为

. 记

, 则

所以原幂级数的收敛区间为

, 即

-或

.

10．确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）设

则

, 收敛半径R=﹣l. 当x=1时级数

发散, x=-l

时级数

也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）.

设

, 则

故

（2）设

当

则

时, 原级数可化为级数

故收敛半径

发散, 故原级数的收敛域为