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一、证明题

1． 设

, 其中

与v （y ）为[0, 1]上连续函数, 证明【答案】当

时,

由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续, 所以

2． 证明:对任何

（1）（2）

并说明等号何时成立. 【答案】（1）由三角不等式当且仅当（2）

当且仅当

3． 证明:曲面

可微, 常数a , b , c 不同时为零.

【答案】记

则

于是曲面

n 与某直线方向向量

上任一点的法向量为

垂直当且仅当

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有

可知,

时, 等号成立.

时, 等号成立.

上任意一点的切平面都与某一定直线平行, 其中函数F 连续

即

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或

于是当l 1, l 2, l 3 满足

4． 在

[0, 1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0,

1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得

时恒有

取1=（

b , c , a ）,

则曲面 F （ax —bz , ay

—cz ）

=0 上任一点的切平面与l 平行.

从而时, 有

及

, 有

恒成立.

所以对于任意

取

当n>N时,

对任意的

由柯两准则知, 级数

在[0, 1]上一致收敛. 若

存在优级数特别取, 有

而正项级数发散.

所以级数发散, 这与为优级数矛盾, 因此级数不存在

优级数

5． 证明:闭域必是闭集, 举例说明反之不真.

【答案】（1）设D 为闭域, 则有开域G 使 其中

c

为G 的边界,

设

2

①

由

知:对任意, 使

②

这与以上结论矛盾

.

其

, 则且

中G 为

G 的余集即关于R 的补集. 由于

下证

若不然, 则存在由于

从而

因此②真, 由①知

于是当

从而存在

充分小时, •

中含有G 的点Q , 于是

故P 0不是D 的聚点, 这就证明了:若P 0为D 的聚点, 则（2）例如

或

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, 因此D 为闭集.

是闭集, 但不是闭域.

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6．

设

, S 为一封闭曲面, r=（x , y , z ）, 证明当原点在曲面S

外、上、内时分别有

【答案】因为

所以, 当（x , y , z）

（0, 0, 0）时

（1）（0, 0, 0）在S 的外部时, 由高斯公式, 有

（V 为S 所围的区域）

（2）（0, 0, 0）在S 上时,

为无界函数的曲面积分, 且

.

收

如果S 在（0, 0, 0）是光滑的, 由类似于无界函数的二重积分的讨论, 可知反常积分敛.

同样, 取充分小的

, 记为以（0, 0, 0）为球心, 为半径的球面, 用S 1表示从S 上被截下

而不被所包围的部分曲面, S 2表示上含在V 内的部分, 则

其中, S 2取内侧. 因为S 在点（0, 0, 0）是光滑的, 在点（0, 0, 0）有切平面, 所以S 在点（0, 0, 0）的附近可用这个切平面近似代替, 即S+2可看作的半个球面, 故

（3）（0, 0, 0）在S 的内部时, 取充分小的内部, 记为S 和所围成的区域, 取内侧, 则

7． 证明:若函数f , g在区间[a, b]上可导, 且

【答案】令

于是, F （x ）在[a, b]上严格递增, 故当

则

时,

, 即

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, 使以（0, 0, 0）为球心, 为半径的球面在V

, 则在内有.