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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导.

, 则F （0）=0, 且

【答案】令

求证:

, 使得

»

由此推出

下面分两种情况讨论: 第一种情况, 使得第二种情况

, 使得

使得

2． 证明级数

【答案】由微分中值定理, 有

从而

又

所以级数

3． 证明:若

【答案】由于

收敛, 且存在极限

存在,

若

则A=0. , 设A>0,

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.. 根据罗尔定理, 有

*

,

即得

.

则

, 从而本题得证.

与F （1）异号,

于是根据连续函数的中间值定理可知上用罗尔定理, 有

. 从而本题也得证.

现在对F （x ）在

,

即得

收敛, 并且其和小于1.

收敛, 并且其和小于1.

对从而有于是

, 存在M , 使得当x>M时, 有

,

因

.

故

也发散. 这与已知条件矛盾, 故有

,

发散, .

4． 证明下列结论:

（1）若f （x , y）在某域G 上对x 连续, 关于x 对y —致连续, 则f （x , y ）在G 上连续; （2）若f （x , y）在某域G 上对x 连续, 对y 满足利普希茨条件, 即

, 其中y ）在G 上连续.

【答案】（1

）任取

, 当所以取有

,

因此f （x , y ）在点（2）任取当得

.

取

, 则当

连续. 由. , 当

时有

所以f （x , y ）在点

在点y 0连续, 于是

x 连续, 所以

取但是

所以f （x , y ）在点

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, 使得有

, L 为常数, 则f （x , y ）在G 上连续;

（3）若f （x , y ）在某域G 上分别对每一变量x 和y 连续, 并且对其中一个变量单调, 则f （x ,

, 由于f （x , y ）关于x 对变量y —致连续,

所以时有,

, 当

时有

,

的邻域全部含在G 内, 则当

’.又f （x , y ）关于x 连续,

. 时,

, 且

在点x 0连续,

从而对上述

, 并使点

连续. 由的任意性知f （x , y）在G 上连续.

,

时, 由利普希茨条件

. 取

,, 则当

, 由f （x , y 0）在点x 0. 连续, 所以

时有

的任意性知f （x , y ）在G 上连续.

, 由f （x , y ）对y 连续,

从而

时有

, 当

时有

. 又由f （x , y ）对时有

（3）不妨设f （x , y ）关于y 单调. 任取

在点x 0连续, 故对上述的, 则当

,

连续. 由的任意性知f （x , y ）在G 上连续.

5．

（1）（2）

求证:

使得

【答案】（1）利用拉格朗日中值定理, 存在

（2）设所以

, 则有

故有

6． 设f 为定义在

结论得证.

上的连续函数, a 是任一实数,

证明E 是开集, F 是闭集. 【答案】对任一点存在

的某邻域

故E 为开集. 下证F 是闭集.

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2

因为f 在R 连续, 从而由连续函数的保号性知,

使当

时

即

从而