当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:

【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为

所以

2． 设

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.

3． 证明：对正态分布若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于

这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而

的最大

似然估计不存在.

4． 设总体为韦布尔分布

其密度函数为

现从中得到样本证明仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.

为

【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数

因而最小次序统计量这说明.

5． 设

的分布函数为

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且服从大数定律.

又设, 有

为一列常数, 如果存在

由此可得马尔可夫条件

证明:

【答案】因为由马尔可夫大数定律知 6． 设

为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令

, 证明:则

服从大数定律.

对任意的

常数c>0, 使得对一切n 有

【答案】不妨设

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

7． 设是来自泊松分布的样本, 证明是充分统计量.

有

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

8． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中

是充分统计量.

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

, 时,

（此时要求

（此时要

求否则方差不存在）.

否则均值不存在）, 当r=2

9． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

10．在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令