2017年大连海洋大学生态学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令
（1）
（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以Z 〜N （0, 1）.
（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式
考虑到而
所以
故有
即X 与Z 不独立.
则X 与Y 有函数关系. 试证:X
证明:
2． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为
所以
即X 与Y 不相关.
3． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
4． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
5． 设
的样本, 证明
是来自几何分布
是充分统计量.
其分布列为
在给定T=t后, 对任意的一个样本
, 有
又由（1）知
知
所以有
【答案】由几何分布性质知,
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
, 这就是在
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
给定后
的条件联合分布.
即每一个出现的概率都是
这个条件分布还表明:
当已知统计量（
统计量的真实含义.
6． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令
的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本
）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列, 其共同分布为
表
且
从而
又当
时, 与
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立, 故
7． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
移项即得结论.
服从大数定律.
独立, 所以
8． 设分布函数列
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
弱收敛于分布函数
且
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为, 有
和都是连续、严格单调函数,
又设
关于x 是一致的,
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
使当
使有时, 任对
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有